💡 Fredholm-Operatoren

Ein Fredholm-Operator $T$ ist ein Operator zwischen Banachräumen, für den die Lösungen des inhomogenen linearen Problems $T x = y$ durch „endlich viele Daten“ charakterisiert werden können, ähnlich wie im endlich-dimensionalen Fall. Konkret bedeutet dies, dass der Kern $\ker(T)$ endlich-dimensional ist, d.h. es existiert eine endliche Basis ${v_1, \dots, v_n}$ für $\ker(T)$. Ebenso ist der Kokern $\text{coker}(T) = Y / \text{Im}(T)$ endlich-dimensional, sodass es endlich viele lineare Funktionale ${\varphi_1, \dots, \varphi_k}$ auf $Y$ gibt, welche der Bedingung $y \in \text{Im}(T)$ genügen. Diese Bedingung ist äquivalent zu $\varphi_1(y) = \dots = \varphi_k(y) = 0$.

Die Gleichung $T x = y$ besitzt genau dann eine Lösung, wenn $\varphi_1(y) = \dots = \varphi_k(y) = 0$. Falls eine Lösung existiert, bildet die Lösungsmenge eine endliche affine Untermenge, gegeben durch $x_0 + \langle v_1, \dots, v_n \rangle$, wobei $x_0$ eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems ist, d.h. $T x_0 = y$.

Der Index von $T$ ist definiert als die Differenz der Dimension des Kerns mit der des Kokerns: $\text{ind}(T) = \dim(\ker(T)) - \dim(\text{coker}(T))$.

Ein entscheidender Aspekt des Index ist seine Invarianz gegenüber kompakten Störungen und seine Stetigkeit auf der offenen Menge der Fredholm-Operatoren. Die Zusammenhangskomponenten dieser Menge stehen in Bijektion mit dem Index.

Im endlich-dimensionalen Fall, wenn $T: \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ eine lineare Abbildung ist, ist $T$ automatisch ein Fredholm-Operator mit Index Null. Sei $\lambda \in \mathbb{C}$, dann ist der Kern von $T - \lambda I$ für fast alle $\lambda$ trivial und $T - \lambda I$ surjektiv, außer wenn $\lambda$ ein Eigenwert von $T$ ist. In diesem Fall erhöht sich die Dimension des Kerns (um die geometrische Vielfachheit von $\lambda$), während die Dimension des Bildes gemäß dem Rang-Nullitätssatz um denselben Betrag abnimmt, sodass der Index erhalten bleibt.

Im unendlich-dimensionalen Fall gilt der Rang-Nullitätssatz im Allgemeinen nicht, und es besteht im Normalfall kein einfacher Zusammenhang zwischen den Dimensionen von $\ker(T)$ und $\text{Im}(T)$. Für Fredholm-Operatoren $T: X \to Y$ mit Index $L$ jedoch beschreibt $L$ die Differenz zwischen den Dimensionen des Kerns und des Kokerns.

Wenn $X = Y$ ist und $T - \lambda I$ für alle $\lambda$ Fredholm bleibt, dann wird der Sprung in der Dimension des Kerns von $T - \lambda I$, wenn $\lambda$ ein Eigenwert ist, sowie die entsprechende Abnahme der Dimension des Bildes, durch den Index $L$ bestimmt. Für $L = 0$ gleichen sich diese Sprünge aus. Ist $L > 0$, so kann $T - \lambda I$ nicht injektiv sein; falls $T - \lambda I$ surjektiv ist, beträgt die Dimension des Kerns genau $L$. Generell kann die Dimension des Kerns von $L$ auf $L + r$ (mit $r > 0$) anwachsen, wobei die Dimension des Bildes um $r$ abnimmt, um dies zu kompensieren. Dies bedeutet, dass die Dimension des Kokerns ebenfalls um $r$ zunimmt. Wenn $L < 0$ ist, kann $T - \lambda I$ nicht surjektiv sein, und eine analoge Analyse ergibt sich.

📚 Inhalte

In diesem Repository findest du:

• Grundlagen der Fredholm-Operatoren: Eine präzise Definition und wichtige Eigenschaften, die Fredholm-Operatoren in der Funktionalanalysis auszeichnen.
• Beispiele und Anwendungen: Anwendungsfälle, in denen Fredholm-Operatoren auftreten, z.B. in der Theorie elliptischer Differentialoperatoren.
• Mathematische Beweise: Ausführliche Beweise zur Stabilität von Fredholm-Operatoren unter kompakten Störungen und deren Rolle in der Funktionalanalysis.
• LaTeX-Dateien: Alle Inhalte sind in LaTeX vorbereitet und eignen sich perfekt für wissenschaftliche Arbeiten.

🧠 Voraussetzungen

• Kenntnisse in Funktionalanalysis und linearen Operatoren sind hilfreich.
• LaTeX-Kenntnisse, falls du die Dokumentation anpassen oder erweitern möchtest.

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📄 Lizenz

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