From 792aee8396657e488ab4a2839badefbbf10beafb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Oleksii Galganov Date: Wed, 17 Feb 2021 14:28:18 +0200 Subject: [PATCH] nano fixes --- lectures/7_2.tex | 4 ++-- lectures/7_3.tex | 12 ++++++------ lectures/7_4.tex | 2 +- 3 files changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/lectures/7_2.tex b/lectures/7_2.tex index c96d3f6..64cd606 100644 --- a/lectures/7_2.tex +++ b/lectures/7_2.tex @@ -65,7 +65,7 @@ \subsection{Теорема Чебишова (ЗВЧ у формі Чебишов $. \end{theorem*} \begin{exercise} - Довести теорему Бернуллі. + Довести теорему Маркова. \end{exercise} \begin{example} \begin{enumerate} @@ -123,7 +123,7 @@ \subsection{Закон великих чисел у схемі Бернуллі} Нехай $\xi_n$ задає кількість гербів, що випали за $n$ підкидань. Тоді $P\left\{ \left| \frac{\xi_{10000}}{10000} - \frac{1}{2}\right| \geq 0.01\right\} \leq \frac{1}{4\cdot 10^4 \cdot 0.01^2} = \frac{1}{4}$. \end{example} -Наведемо узагальнення теореми Маркова. +Наведемо узагальнення теореми Бернуллі. \begin{theorem*} Нехай $\xi_n$ задає кількість успіхів в схемі Бернуллі з $n$ випробуваннями та ймовірністю успіху $p_n$, $\xi_n \sim \mathrm{Bin}(n, p_n)$. Тоді diff --git a/lectures/7_3.tex b/lectures/7_3.tex index 907be0a..28cbb7e 100644 --- a/lectures/7_3.tex +++ b/lectures/7_3.tex @@ -43,7 +43,7 @@ \subsection{Теорема Ляпунова} характеристичних функцій. Нехай $\chi_k(t)$ --- характеристична функція $\mathring{\xi_k}$, а $F_k(x)$ --- - функція розподілу $\xi_k$. + функція розподілу $\mathring{\xi_k}$. За властивостями характеристичних функцій $\chi_{\eta_n}(t) = \prod\limits_{k=1}^n \chi_k(\frac{t}{B_n})$. Доведемо, що $\chi_{\eta_n}(t)\to e^{-t^2/2} = @@ -68,7 +68,7 @@ \subsection{Теорема Ляпунова} + \sum\limits_{k=1}^n \theta_k\frac{|t|^3}{6B_n^3}m_k \to -\frac{t^2}{2} $ при $n \rightarrow \infty$. - Таким чином, $\xi_{\eta_n}(t) \sim e^{-\frac{t^2}{2}}$ при $n \rightarrow \infty$ і + Таким чином, $\chi_{\eta_n}(t) \to e^{-\frac{t^2}{2}}$ при $n \rightarrow \infty$ і з теореми Леві маємо, що $\eta_n \overset{\mathrm{F}}{\longrightarrow} \xi \sim \mathrm{N}(0, 1)$. \end{proof} \begin{remark} @@ -76,7 +76,7 @@ \subsection{Теорема Ляпунова} --- щільності розподілу $\mathrm{N}(0, 1)$. \end{remark} \noindent\textbf{Наслідок.} Нехай всі $\xi_n$ \emph{однаково розподілені}, $E\xi_k = a$, $D\xi_k = \sigma^2$, -$m_k = E\left| \xi_k - a\right|^3$. Тоді умова Ляпунова виконується автоматично: +$m_k = E\left| \xi_k - a\right|^3 = m$. Тоді умова Ляпунова виконується автоматично: $$\underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{\sum\limits_{k=1}^n m_k}{\left( \sum\limits_{k=1}^n \sigma_k^2 \right)^{3/2}} = \underset{n \rightarrow \infty}{\lim} \frac{n \cdot m}{(n\cdot \sigma^2)^{3/2}} = 0$$ @@ -94,7 +94,7 @@ \subsection{Теорема Ляпунова} \pgfmathsetmacro{\s}{0.57735} \draw [->] (-5, 0) -- (5, 0); \draw [->] (0, -0.2) -- (0, 0.75); - \draw [domain=-4.9:4.9, smooth, variable = \x, thick, lightgray] plot ({\x}, {0.398942280401/\s * e^(-(\x-\a)^2/(2*\s^2))}); + \draw [domain=-4.9:4.9, smooth, variable = \x, thick, gray] plot ({\x}, {0.398942280401/\s * e^(-(\x-\a)^2/(2*\s^2))}); \node [below] at (5, 0) {$x$}; \node [below right] at (0, 0) {$_0$}; \node [below right] at (2, 0) {$_2$}; @@ -119,7 +119,7 @@ \subsection{Теорема Ляпунова} \pgfmathsetmacro{\s}{0.8165} \draw [->] (-5, 0) -- (5, 0); \draw [->] (0, -0.2) -- (0, 0.55); - \draw [domain=-4.9:4.9, smooth, variable = \x, thick, lightgray] plot ({\x}, {0.398942280401/\s * e^(-(\x-\a)^2/(2*\s^2))}); + \draw [domain=-4.9:4.9, smooth, variable = \x, thick, gray] plot ({\x}, {0.398942280401/\s * e^(-(\x-\a)^2/(2*\s^2))}); \node [below] at (5, 0) {$x$}; \node [below right] at (0, 0) {$_0$}; \node [below right] at (2, 0) {$_2$}; @@ -137,7 +137,7 @@ \subsection{Теорема Ляпунова} \pgfmathsetmacro{\s}{1} \draw [->] (-5, 0) -- (5, 0); \draw [->] (0, -0.17) -- (0, 0.45); - \draw [domain=-4.9:4.9, smooth, variable = \x, thick, lightgray] plot ({\x}, {0.398942280401/\s * e^(-(\x-\a)^2/(2*\s^2))}); + \draw [domain=-4.9:4.9, smooth, variable = \x, thick, gray] plot ({\x}, {0.398942280401/\s * e^(-(\x-\a)^2/(2*\s^2))}); \node [below] at (5, 0) {$x$}; \node [below right] at (0, 0) {$_0$}; \node [below right] at (2, 0) {$_2$}; diff --git a/lectures/7_4.tex b/lectures/7_4.tex index 8b55c54..04acd23 100644 --- a/lectures/7_4.tex +++ b/lectures/7_4.tex @@ -31,7 +31,7 @@ \subsection{Інтегральна теорема Муавра-Лапласа} P\left\{\frac{m_1 - np}{\sqrt{n p q}} < \frac{\xi_n - np}{\sqrt{n p q}} < \frac{m_2 - np}{\sqrt{n p q}}\right\} \approx$ $\approx \Phi\left(\frac{m_2 - np}{\sqrt{n p q}}\right) - \Phi\left(\frac{m_1 - np}{\sqrt{n p q}}\right)$. - \item $\forall \; \varepsilon > 0 : P\left\{ \left|\frac{\xi_n}{n} - np\right| < \varepsilon\right\} = + \item $\forall \; \varepsilon > 0 : P\left\{ \left|\frac{\xi_n}{n} - p\right| < \varepsilon\right\} = P\left\{-\varepsilon < \frac{\xi_n - np}{n} < \varepsilon\right\} = P\left\{-\varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}} < \frac{\xi_n - np}{\sqrt{n p q}} < \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}}\right\} \approx$ $\approx \Phi\left( \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}}\right) - \Phi\left( -\varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}}\right) = 2\Phi\left( \varepsilon \sqrt{\frac{n}{pq}}\right)$.