-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathmain.ptc
174 lines (174 loc) · 21.4 KB
/
main.ptc
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
\babel@toc {ukrainian}{}
\ttl@starttoc {default@1}
\contentsline {part}{I\hspace {1em}Теорія ймовірностей}{5}{part.1}%
\contentsline {chapter}{\numberline {1}Випадкові події}{6}{chapter.1}%
\contentsline {section}{\numberline {1.1}Основні поняття теорії ймовірностей}{6}{section.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.1}Теоретико-множинний підхід}{6}{subsection.1.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.2}Класична модель ймовірності}{7}{subsection.1.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.3}Геометрична модель ймовірності}{8}{subsection.1.1.3}%
\contentsline {section}{\numberline {1.2}Аксіоми теорії ймовірностей}{11}{section.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.1}Система аксіом Колмогорова}{11}{subsection.1.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.2}Властивості ймовірності, що випливають з аксіом}{12}{subsection.1.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.3}Теореми неперервності ймовірності}{13}{subsection.1.2.3}%
\contentsline {section}{\numberline {1.3}Умовна ймовірність та її застосування}{14}{section.1.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.1}Поняття умовної ймовірності}{14}{subsection.1.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.2}Незалежність подій}{14}{subsection.1.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.3}Теореми додавання та множення}{15}{subsection.1.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.4}Формула повної ймовірності}{16}{subsection.1.3.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.5}Формула Баєса}{16}{subsection.1.3.5}%
\contentsline {section}{\numberline {1.4}Незалежні випробування. Схема Бернуллі.}{17}{section.1.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.1}Поліноміальна схема}{17}{subsection.1.4.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.2}Схема Бернуллі}{18}{subsection.1.4.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.3}Найбільш імовірна кількість успіхів в схемі Бернуллі}{18}{subsection.1.4.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.4}Асимптотичні наближення формули Бернуллі}{19}{subsection.1.4.4}%
\contentsline {chapter}{\numberline {2}Випадкові величини}{20}{chapter.2}%
\contentsline {section}{\numberline {2.1}Поняття випадкової величини}{20}{section.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1.1}Функція розподілу}{21}{subsection.2.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1.2}Дискретні випадкові величини}{21}{subsection.2.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1.3}Неперервні випадкові величини}{22}{subsection.2.1.3}%
\contentsline {section}{\numberline {2.2}Числові характеристики випадкових величин}{24}{section.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Математичне сподівання}{24}{subsection.2.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Дисперсія}{25}{subsection.2.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Моменти випадкової величини}{26}{subsection.2.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.4}Мода та медіана випадкової величини}{26}{subsection.2.2.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.5}Асиметрія та ексцес випадкової величини}{27}{subsection.2.2.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.6}Генератриса (твірна функція) ДВВ}{27}{subsection.2.2.6}%
\contentsline {section}{\numberline {2.3}Деякі закони розподілу випадкових величин}{28}{section.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1}Біноміальний розподіл}{28}{subsection.2.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.2}Геометричний розподіл}{29}{subsection.2.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.3}Розподіл Пуассона}{30}{subsection.2.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.4}Потік Пуассона}{30}{subsection.2.3.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.5}Рівномірний розподіл}{31}{subsection.2.3.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.6}Експоненційний (показниковий) розподіл}{32}{subsection.2.3.6}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.7}Гамма-розподіл}{33}{subsection.2.3.7}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.8}Гауссівський (нормальний) розподіл}{34}{subsection.2.3.8}%
\contentsline {chapter}{\numberline {3}Випадкові вектори}{37}{chapter.3}%
\contentsline {section}{\numberline {3.1}Поняття випадкового вектора}{37}{section.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.1}Сумісна функція розподілу}{37}{subsection.3.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.2}Дискретні випадкові вектори}{39}{subsection.3.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.3}Неперервні випадкові вектори}{40}{subsection.3.1.3}%
\contentsline {section}{\numberline {3.2}Числові характеристики випадкових векторів}{43}{section.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2.1}Математичне сподівання випадкових векторів}{43}{subsection.3.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2.2}Мішані початкові та центральні моменти випадкових векторів}{43}{subsection.3.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2.3}Коваріація як скалярний добуток випадкових величин}{45}{subsection.3.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2.4}Коефіцієнт кореляції}{45}{subsection.3.2.4}%
\contentsline {section}{\numberline {3.3}Умовні закони розподілу}{46}{section.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.1}Умовний закон розподілу ДВВ}{46}{subsection.3.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.2}Умовне математичне сподівання ДВВ}{47}{subsection.3.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.3}Умовний закон розподілу НВВ}{47}{subsection.3.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.4}Умовне математичне сподівання НВВ}{47}{subsection.3.3.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.5}Формули повного математичного сподівання та дисперсії}{48}{subsection.3.3.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.6}Випадок незалежних координат}{49}{subsection.3.3.6}%
\contentsline {chapter}{\numberline {4}Характеристичні функції. Гауссівські випадкові вектори}{50}{chapter.4}%
\contentsline {section}{\numberline {4.1}Характеристичні функції випадкових величин}{50}{section.4.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.1.1}Поняття характеристичної функції}{50}{subsection.4.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.1.2}Властивості характеристичної функції}{50}{subsection.4.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.1.3}Необхідні умови того, що функція є характеристичною}{52}{subsection.4.1.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.1.4}Характеристичні функції деяких розподілів}{52}{subsection.4.1.4}%
\contentsline {section}{\numberline {4.2}Характеристичні функції випадкових векторів}{53}{section.4.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.2.1}Поняття характеристичної функції випадкового вектору}{53}{subsection.4.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.2.2}Властивості характеристичних функцій векторів}{54}{subsection.4.2.2}%
\contentsline {section}{\numberline {4.3}Багатовимірний нормальний розподіл}{54}{section.4.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3.1}Виведення характеристичної функції та щільності}{54}{subsection.4.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3.2}Властивості гауссівських векторів}{56}{subsection.4.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3.3}Вироджені гауссівські вектори}{57}{subsection.4.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3.4}Нормальний розподіл на площині}{57}{subsection.4.3.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3.5}Колове розсіювання}{59}{subsection.4.3.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {4.3.6}Умовний гауссівський розподіл на площині}{59}{subsection.4.3.6}%
\contentsline {chapter}{\numberline {5}Функції випадкових аргументів}{60}{chapter.5}%
\contentsline {section}{\numberline {5.1}Функції одного випадкового аргументу}{60}{section.5.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.1.1}Функції від дискретного випадкового аргументу}{60}{subsection.5.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.1.2}Функції від неперервного випадкового аргументу}{60}{subsection.5.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.1.3}Числові характеристики функції неперервного випадкового аргументу}{62}{subsection.5.1.3}%
\contentsline {section}{\numberline {5.2}Функції кількох випадкових аргументів}{63}{section.5.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.1}Випадок довільної функції}{63}{subsection.5.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.2}Закон розподілу мінімуму та максимуму}{63}{subsection.5.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.3}Закон розподілу добутку двох НВВ}{64}{subsection.5.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.4}Закон розподілу частки двох НВВ}{65}{subsection.5.2.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.5}Закон розподілу суми двох НВВ}{66}{subsection.5.2.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.6}Числові характеристики функції багатьох випадкових аргументів}{67}{subsection.5.2.6}%
\contentsline {section}{\numberline {5.3}Деякі нерівності}{67}{section.5.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.3.1}Нерівність Єнсена}{67}{subsection.5.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.3.2}Нерівність Гельдера}{68}{subsection.5.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {5.3.3}Нерівність Мінковського}{68}{subsection.5.3.3}%
\contentsline {chapter}{\numberline {6}Основні розподіли математичної статистики}{69}{chapter.6}%
\contentsline {section}{\numberline {6.1}Розподіл $\chi ^2$ (Пірсона)}{69}{section.6.1}%
\contentsline {section}{\numberline {6.2}Розподіл $\chi $}{69}{section.6.2}%
\contentsline {section}{\numberline {6.3}Розподіл Стьюдента ($t$-розподіл)}{70}{section.6.3}%
\contentsline {section}{\numberline {6.4}Розподіл Фішера-Снедекора ($F$-розподіл)}{71}{section.6.4}%
\contentsline {chapter}{\numberline {7}Граничні теореми теорії ймовірностей}{72}{chapter.7}%
\contentsline {section}{\numberline {7.1}Послідовності випадкових величин}{72}{section.7.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.1.1}Нерівності Маркова та Чебишова}{72}{subsection.7.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.1.2}Послідовності випадкових величин}{73}{subsection.7.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.1.3}Види збіжності послідовності випадкових величин}{73}{subsection.7.1.3}%
\contentsline {section}{\numberline {7.2}Закон великих чисел}{76}{section.7.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.1}Теорема Чебишова (ЗВЧ у формі Чебишова).}{76}{subsection.7.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.2}Посилений закон великих чисел}{77}{subsection.7.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.3}Закон великих чисел у схемі Бернуллі}{77}{subsection.7.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.2.4}Методи Монте-Карло}{78}{subsection.7.2.4}%
\contentsline {section}{\numberline {7.3}Центральна гранична теорема}{79}{section.7.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.1}Теорема Ляпунова}{79}{subsection.7.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.3.2}Умова Ліндеберга}{81}{subsection.7.3.2}%
\contentsline {section}{\numberline {7.4}Застосування ЦГТ до схеми Бернуллі}{82}{section.7.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.4.1}Інтегральна теорема Муавра-Лапласа}{82}{subsection.7.4.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.4.2}Локальна теорема Муавра-Лапласа}{82}{subsection.7.4.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.4.3}Гранична теорема Пуассона}{83}{subsection.7.4.3}%
\contentsline {section}{\numberline {7.5}Збіжність та граничні теореми для послідовностей випадкових векторів}{84}{section.7.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.5.1}Збіжність випадкових векторів}{84}{subsection.7.5.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {7.5.2}Граничні теореми}{84}{subsection.7.5.2}%
\contentsline {part}{II\hspace {1em}Математична статистика}{85}{part.2}%
\contentsline {chapter}{\numberline {8}Вибірка, точкове та інтервальне оцінювання}{86}{chapter.8}%
\contentsline {section}{\numberline {8.1}Вибірка та її первинний аналіз}{86}{section.8.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.1.1}Поняття вибірки}{86}{subsection.8.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.1.2}Розподіл випадкової вибірки}{86}{subsection.8.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.1.3}Дискретний варіаційний ряд}{88}{subsection.8.1.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.1.4}Інтервальний варіаційний ряд}{88}{subsection.8.1.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.1.5}Емпірична функція розподілу}{89}{subsection.8.1.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.1.6}Вибіркові характеристики ГС}{90}{subsection.8.1.6}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.1.7}Діаграми розмаху}{90}{subsection.8.1.7}%
\contentsline {section}{\numberline {8.2}Точкові оцінки}{91}{section.8.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.2.1}Незміщеність оцінки}{91}{subsection.8.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.2.2}Конзистентність оцінки}{92}{subsection.8.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.2.3}Ефективність оцінки}{93}{subsection.8.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.2.4}Асимптотична нормальність оцінки}{95}{subsection.8.2.4}%
\contentsline {section}{\numberline {8.3}Методи отримання точкових оцінок}{95}{section.8.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.3.1}Метод моментів}{95}{subsection.8.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.3.2}Метод максимальної правдоподібності}{96}{subsection.8.3.2}%
\contentsline {section}{\numberline {8.4}Інтервальне оцінювання}{97}{section.8.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.4.1}Побудова довірчих інтервалів для гаусcівської ГС}{97}{subsection.8.4.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.4.2}Наближені довірчі інтервали}{99}{subsection.8.4.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.4.3}Довірчий інтервал для ймовірності появи події}{99}{subsection.8.4.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {8.4.4}Довірчі інтервали для параметрів рівномірної ГС}{100}{subsection.8.4.4}%
\contentsline {chapter}{\numberline {9}Перевірка статистичних гіпотез}{102}{chapter.9}%
\contentsline {section}{\numberline {9.1}Поняття статистичних гіпотез та їх перевірки}{102}{section.9.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.1.1}Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду}{102}{subsection.9.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.1.2}Методика перевірки статистичних гіпотез}{103}{subsection.9.1.2}%
\contentsline {section}{\numberline {9.2}Критерій Пірсона ($\chi ^2$) та критерій Колмогорова}{103}{section.9.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.2.1}Критерій Пірсона та алгоритм його використання}{104}{subsection.9.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.2.2}Доведення теореми Пірсона}{105}{subsection.9.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.2.3}Критерій незалежності $\chi ^2$}{108}{subsection.9.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.2.4}Критерій згоди Колмогорова}{108}{subsection.9.2.4}%
\contentsline {section}{\numberline {9.3}Перевірка параметричних гіпотез}{109}{section.9.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.3.1}Прості гіпотези. Критерій Неймана-Пірсона}{109}{subsection.9.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.3.2}Приклади побудови найкращої критичної області}{111}{subsection.9.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.3.3}Перевірка складних параметричних гіпотез}{113}{subsection.9.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {9.3.4}Перевірка гіпотез про рівність параметрів двох ГС}{114}{subsection.9.3.4}%
\contentsline {chapter}{\numberline {10}Елементи регресійного аналізу}{118}{chapter.10}%
\contentsline {section}{\numberline {10.1}Математична модель лінійної регресії}{118}{section.10.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.1.1}Однофакторна лінійна регресія}{118}{subsection.10.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.1.2}Метод найменших квадратів}{119}{subsection.10.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.1.3}Багатофакторна (множинна) лінійна регресія}{120}{subsection.10.1.3}%
\contentsline {section}{\numberline {10.2}Статистичний аналіз лінійної регресійної моделі}{122}{section.10.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.2.1}Властивості оцінок параметрів}{122}{subsection.10.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.2.2}Оцінка дисперсії похибок спостережень}{124}{subsection.10.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.2.3}Перевірка адекватності моделі}{125}{subsection.10.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.2.4}Аналіз точності прогнозів моделі}{125}{subsection.10.2.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.2.5}Приклад побудови та аналізу моделі}{126}{subsection.10.2.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {10.2.6}Деякі труднощі застосування лінійної регресійної моделі}{127}{subsection.10.2.6}%
\contentsline {chapter}{Таблиці значень деяких функцій}{129}{chapter*.5}%
\contentsline {section}{Функція Лапласа}{129}{section*.6}%
\contentsline {section}{Деякі квантилі розподілу $\chi ^2_n$}{131}{section*.7}%
\contentsline {section}{Деякі квантилі розподілу $\mathrm {St}_n$}{132}{section*.8}%
\contentsline {section}{Квантилі рівня 0.95 розподілу $\mathrm {F}(n_1, n_2)$}{133}{section*.9}%
\contentsline {chapter}{Предметний покажчик}{135}{section*.10}%
\contentsfinish