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Author: jens-ox

chapters/01_MetrischeRaeume.tex

@@ -2,10 +2,9 @@ \chapter{Einstieg --- Metrische Räume}
 
 \section{Vorbemerkungen}
 
-Inhalt dieser Vorlesung wird sowohl \emph{Stetigkeitsgeometrie} (Topologie) als auch \emph{metrische Geometrie} sein. Die unten abgebildeten Objekte sind im Sinne der Stetigkeitsgeometrie "topologisch äquivalent", im Sinne der metrischen Geometrie sind diese allerdings verschieden.
+Inhalt dieser Vorlesung wird sowohl \emph{Stetigkeitsgeometrie} (Topologie) als auch \emph{metrische Geometrie} sein. Die unten abgebildeten Objekte sind im Sinne der Stetigkeitsgeometrie ``topologisch äquivalent'', im Sinne der metrischen Geometrie sind diese allerdings verschieden.
 
-\begin{figure}[H]
-  \label{img003-1}
+\begin{figure}[H]\label{img003-1}
   \includegraphics{img003-1}
   \caption{Diese Objekte sind topologisch äquivalent, metrisch allerdings nicht}
 \end{figure}
@@ -16,9 +15,8 @@ \section{Vorbemerkungen}
 
 \section{Definitionen zu metrischen Räumen}
 
-\begin{definition}[Metrik]
-  \label{def:metrik}
-  Sei $ X $ eine Menge. Eine Funktion $ d: X \times X \to \R_{\geq 0} $ ist eine \term{Metrik} (Abstandsfunktion), falls $ \forall x, y, z \in X $ gilt:
+\begin{definition}[Metrik]\label{def:metrik}
+  Sei \( X \) eine Menge. Eine Funktion \( d: X \times X \to \R_{\geq 0} \) ist eine \term{Metrik} (Abstandsfunktion), falls $ \forall x, y, z \in X $ gilt:
   \begin{enumerate}
     \item \textbf{Positivität}: $ d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y $ 
     \item \textbf{Symmetrie}: $ d(x,y) = d(y,x) $

chapters/04_SpezielleTopologischeRaeume.tex

@@ -7,7 +7,7 @@ \section{Übersicht}
   \item \hyperref[def:metrischerRaum]{metrische Räume} $ \leadsto $ metrische Geometrie
   \item \hyperref[def:topologischeMannigfaltigkeit]{Mannigfaltigkeiten} (Grundobjekte in Differenzialgeometrie, Physik,\dots)
   \item \hyperref[def:polyeder]{Polyeder}, \hyperref[def:simplizialkomplex]{Simplizialkomplexe} (Kombinatorik, algebraische Topologie)
-  \item \hyperref[def:bahnenraum]{Bahnen-Räume} von \hyperref[def:gruppenaktion]{Gruppenaktionen} (geometrische Gruppentheorie)
+  \item Bahnen-Räume von Gruppenaktionen (geometrische Gruppentheorie)
 \end{itemize}
 
 \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
@@ -26,7 +26,7 @@ \section{Topologische Mannigfaltigkeiten}
   \end{enumerate}
   \emph{Bemerkung}:
   \begin{itemize}
-    \item Die zweite Eigenschaft ist ``technisch'' und garantiert , dass eine ``Zerlegung der Eins'' existiert (braucht man z.B. für die Existenz von \hyperref[def:riemannscheMetrik]{Riemannschen Metriken}). 
+    \item Die zweite Eigenschaft ist ``technisch'' und garantiert , dass eine ``Zerlegung der Eins'' existiert (braucht man z.B. für die Existenz von Riemannschen Metriken). 
     \item Die Zahl $ n $ heißt \term{Dimension}\label{def:dimension} von $ M $ (eindeutig, wenn $ M $ \hyperref[def:zusammenhaengend]{zusammenhängend} ist, siehe \hyperref[th:satzGebietstreue]{Satz von Gebietstreue}). 
   \end{itemize}
 \end{definition}