O método componentWillMount é executado antes de o componente ser renderizado, neste caso deve ser evitado de efetuar manipulações de DOM.
Como o React pode ser executado tanto do lado do servidor como no front, este método também executa do lado do servidor
sendo que o elemento não está na tela no momento da execução.
O método componentDidMount é executado logo após o componente ter sido renderizado. Neste caso você pode utilizar para manipulação de DOM e também para bibliotecas de terceiros.
O método render é executado sempre que o componente tem o DOM renderizado no browzer.
O método componentWillUnmount é executado sempre que o componente for desmontado.
O método componentWillReceiveProps é atualizado sempre que recebe novas propriedades, recebendo como parâmetro nextProps. Este é o momento adequado para que você altere o state do seu componente antes que ele seja renderizado.
O método shouldComponentUpdate é executado quando você por alguma razão quer evitar que o componente seja atualizado, ele recebe dois parâmetros nextProps e nextState onde você pode utiliza-los para fazer verificações para não atualização do componente.
O método componentWillUpdate é executado após o componente ter suas propriedades atualizads, é indicado o uso para efetuar verificações, mas não devem ser modificados estados do componente neste momento.
O método componentDidUpdate é executado após a renderização do componente, ele tem dois parâmetros para utilização prevProps e prevState. Uma observação interessante neste método é que você consegue ter um histórico de alterações do componente, pois sempre consegue pegar a alteração anterior.